Encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função

f x = x e - x

Passo 1

Vamos calcular as assíntotas horizontais. Primeiro a assíntota quando   x → ∞

lim x → ∞ ⁡ x e - x

lim x → ∞ ⁡ x e x = ∞ ∞

Aplicando L’Hopital:

lim x → ∞ ⁡ x ' ( e x ) ' = lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 1 ∞ = 0

Então, y = 0 é uma assíntota horizontal.

Passo 2

Agora quando x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x e - x

Substituindo o x :

- ∞ e - - ∞ = - ∞ e ∞ = - ∞ . ∞ = - ∞

Vish! Como não deu um número significa que não tem assíntota para x → - ∞

Passo 3

Agora vamos achar assíntota vertical. Para isso, precisamos pensar em pontos que não estão no domínio da função e calcular o limite para x tendendo a esses pontos. No caso da função

x e - x

O domínio é todo o conjunto dos reais, logo não há ponto de descontinuidade e, portanto, não há assíntota vertical.

Resposta

y = 0

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