Calcule o seguinte limite:
$\lim _{x \rightarrow-4} \frac{\operatorname{tg}(x+4)}{x+4}$

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:

Pede-se calcular o limite $\displaystyle \lim_{x\to -4} \frac{\operatorname{tg}(x+4)}{x+4}$ .
Aqui $\operatorname{tg}$ significa a função tangente, isto é $\operatorname{tg} = \tan$ .
A expressão envolve $\tan(x+4)$ dividida por $x+4$ quando $x$ se aproxima de $-4$ .

Mudança de variável para simplificar a expressão:

\lim_{x\to -4} \frac{\operatorname{tg}(x+4)}{x+4} = \lim_{u\to 0} \frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.

Escrever

\tan

em termos de

\sin

\cos

e decompor:

\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u\,\cos u}=\left(\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\frac{1}{\cos u}.

Pela propriedade dos limites (produto de limites quando existem), se $\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}$ e $\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}$ existirem, o limite será o produto desses limites.

Calcular

\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}

(prova clássica por desigualdades):

\sin u < u < \tan u.

\frac{\sin u}{u} < 1 < \frac{1}{\cos u}.

\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.

Ao fazer $u\to 0^{+}$ , sabemos que $\cos u \to 1$ . Pela desigualdade (squeeze theorem), segue que

\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\sin u}{u} = 1.

Para $u\to 0^{-}$ a mesma conclusão vale porque $\sin$ é ímpar e a expressão $\sin u / u$ é par; assim

\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.

Calcular

\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}

e concluir o produto:

\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u} = \frac{1}{1} = 1.

\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u} = \left(\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}\right) =1\cdot 1 = 1.

1

Calcule o seguinte limite: \lim _{x \rightarrow-4} \frac{\operatorname{tg}(x+4)}{x+4}