Em 1742, o russo Christian Goldbach formulou a seguinte conjectura (conhecida como conjectura de Goldbach): “Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos positivos”. Por exemplo: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, etc. Até hoje continua em aberto a questão de saber se essa proposição é falsa ou verdadeira.

Admitindo a conjectura de Goldbach, prove que todo inteiro maior que 5 é soma de três números primos. Por exemplo: 6 = 2 + 2 + 2, 7 = 2 + 2 + 3, etc.

Sugestão: Devido à conjectura, se n ≥ 3, 2n–2 = p + q (p e q primos). Portanto, 2n = p + q + 2 (soma de três números primos).

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos provar essa proposição tomando um número k > 5 . Se k > 5, então:

k = 5 + t   c o m   t ∈ N *

Se pegarmos t = 1 ou t = 2, fica óbvio que a proposição é verdadeira veja:

t = 1 :   k = 3 + 2 + 1

t = 2 :   k = 3 + 2 + 2

Mas e para t ≥ 3 ? Podemos admitir que a conjectura é sempre válida pois existem dois primos, t 1 e   t 2 tal que t = t 1 + t 2 . Portanto:

k = 5 + t ⇒ k = 5 + t 1 + t 2

Portanto a soma de um k > 5 é feita pela soma de 3 primos, visto que 5 ,   t 1 e   t 2 são primos, e está provada a conjectura.

Resposta

Demonstração