Enunciado

ABCD é um paralelogramo e A C ̄   é uma das suas diagonais. Os pontos X e Y são tais que   X A →   =     C Y →   . Demonstre que XDYB é um paralelogramo.

Passo 1

Fala, galera! Essa questão é um pouquinho complicada de entender no início, mas nada que um desenho não ajude a melhorar. Pode ser que   X A → ,     C Y → não tenham interseção entre si, como na figura abaixo.

Também pode acontecer algo do tipo:

O importante é que   X A → ,     C Y → tenham mesmo módulo, direção e sentido para que   X A → =     C Y → seja válido. Podemos ver claramente através das duas figuras que XDYB é um paralelogramo, mas como provar isso? Fica ligado no próximo passo.

Passo 2

Para demonstrar que XDYB é paralelogramo, temos que provar que que lados opostos são paralelos e de mesmo tamanho, ou seja, X B → = D Y → e Y B → = D X → . Vamos levar em consideração a terceira figura do Passo 1, mas o raciocínio para a quarta figura seria o mesmo. Então vamos lá, escrevendo todos os vetores em termos de A B → e A D → , obtemos:

X B → = X A → + A B →

D Y → = D C → + C Y → = A B → + C Y → = X A → + A B → ⇒ X B → = D Y →

onde usamos o fato de que X A →   =     C Y → , que já foi dado no enunciado e A B → = D C → porque ABCD é um paralelogramo. Continuando:

Y B → = Y C → + C B → = - C Y → - B C → = - C Y → - A D →

D X → = D A → + A X → = - A D → - X A → = - A D → - C Y → ⇒ Y B → = D X →

onde, novamente, usamos o fato de que X A →   =     C Y → . Com isso, conseguimos demonstrar que XDYB é paralelogramo.

Resposta

Ver a resolução acima.