Ache o centro e o raio da circunferência

x^2 + y^2 + z^2 - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0

x + y - z + 1 = 0

Passo 1

E aí, pessoal! Como de costume, vamos começar reescrevendo a equação da esfera na forma reduzida:

x^2 + y^2 + z^2 - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0

=> x^2 - 2 x + 1 - 1 + y^2 + 4 y + 4 - 4 + z^2 - 6 z + 9 - 9 + 5 = 0

=> ( x - 1 )^2 + ( y^() + 2 )^2 + ( z - 3 )^2 = 9

Ou seja, temos o centro em C = ( 1 , - 2,3 ) e o raio da esfera é r = 3 .

Precisamos determinar o raio da circunferência formada por uma interseção entre um plano e uma superfície esférica.

Então, precisamos achar o raio r ' e o centro C ' dessa circunferência. Para o raio r ' , podemos utilizar Pitágoras no triângulo formado pelo segmento d ( C , pi ) e o raio que liga o centro C e o ponto de interseção. Então, vamos lá:

d ( C , pi ) = (| 1 * 1 + 1 * ( - 2 ) - 1 * 3 + 1 |)/(sqrt(1 + 1 + 1)) = (| 1 - 2 - 3 + 1 |)/(sqrt(3)) = (3)/(sqrt(3)) = sqrt(3) ,

onde usamos o plano x + y - z + 1 = 0 dado na questão.

Logo,

d ( C , pi )^2 + r '^2 = r^2

=> ( sqrt(3) )^(2 ) + r '^(2 ) = ( 3 )^2

=> r ' = sqrt(9 - 3) = sqrt(6) .

Passo 2

Por fim, precisamos do ponto C ' . Para achá-lo, vamos utilizar uma reta que passa pelos pontos C e C ' . Tomando C = ( 1 , - 2,3 ) como coordenada inicial dessa reta e com o vetor diretor vec v = ( x , y , z ) sendo paralelo ao vetor normal vec n = ( 1,1 , - 1 ) , do plano dado. Teremos:

vec v = alpha vec n => ( x , y , z ) = alpha ( 1,1 , - 1 )

e a equação da reta será r = ( 1 , - 2,3 ) + alpha ( 1,1 , - 1 ) = ( 1 + alpha , - 2 + alpha , 3 - alpha ) :

Agora, basta substituir em x + y - z + 1 = 0 para saber qual o valor de alpha que nos fornece a interseção:

1 + alpha - 2 + alpha - 3 + alpha + 1 = 0

=> 3 alpha - 3 = 0

=> alpha = 1

Então, o ponto C ' ocorrerá quando a reta assumir o valor de alpha = 1 . Logo:

C ' = ( 1 + 1 , - 2 + 1,3 - 1 ) = ( 2 , - 1,2 ) .

Resposta

sqrt(6) e ( 2 , - 1,2 )