Ache a equação da elipse que tem centro na origem e verifica as condições dadas.

v é r t i c e s   V ( 0 , ± 5 )       e i x o   m e n o r   d e   c o m p r i m e n t o   3

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

O enunciado nos garante que esta elipse está centrada na origem do sistema de coordenadas, portanto k = h = 0 . Também nos é informado que o eixo menor tem comprimento 3, isso nos dá informação sobre o valor da constante b , uma vez que:

2 b = 3 → b = 3 / 2

Se utilizarmos o ponto dado no vértice para identificar que V ( 0 , ± 5 ) , indica um ponto pertencente à elipse com x = 0 , e y = ± 5 , temos da equação (1) que:

x 2 ( 3 / 2 ) 2 + y 2 a 2 = 1 → 25 a 2 = 1 → 25 = a 2 → a 2 = 25 → a = ± 5

E, finalmente temos a equação:

4 x 2 9 + y 2 25 = 1

Sendo esta a equação de nossa elipse! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo do passo 2.