Ache a equação da elipse que tem centro na origem e verifica as condições dadas.

v é r t i c e s   V ( 0 , ± 7 )           f o c o s   F ( 0 , ± 2 )

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

O enunciado nos garante que esta elipse está centrada na origem do sistema de coordenadas, portanto k = h = 0 , com essa informação podemos utilizar o foco dado para identificar o valor da constante c , uma vez que:

F ( 0,0 ± c ) = F ( 0,0 ± 2 ) → c = ± 2

Agora, utilizando este valor na equação 2, encontramos uma relação entre b 2 e a 2 , tal que:

4 = a 2 - b 2 → a 2 = 4 + b 2

Se utilizarmos o ponto dado no vértice para identificar que V ( 0 , ± 7 ) , indica um ponto pertencente à elipse com x = 0 , e y = ± 7 , temos da equação (1) que:

x 2 b 2 + y 2 4 + b 2 = 1 → 49 4 + b 2 = 1 → 49 = 4 + b 2 → b 2 = 45 → b = ± 45

E, finalmente temos a equação:

x 2 45 + y 2 4 + 45 = 1 → x 2 45 + y 2 49 = 1

Sendo esta a equação de nossa elipse! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo do passo 2.