Ache a equação da elipse que tem centro na origem e verifica as condições dadas.

p a s s a n d o   p o r   ( 2,3 )   e   ( 6,1 )

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

O enunciado nos garante que esta elipse está centrada na origem do sistema de coordenadas, portanto k = h = 0 . O enunciado também nos dá informação sobre 2 pontos pertencentes à elipse. Primeiro temos P ( 2,3 ) , que indica o ponto com x = 2 , e y = 3 , isso nos dá a seguinte expressão:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 → 4 b 2 + 9 a 2 = 1 → 4 b 2 = 1 - 9 a 2 = a 2 - 9 a 2 → b 2 = 4 a 2 a 2 - 9

Utilizando esta informação e o ponto P ( 6,1 ) , em que x = 6 e y = 1 , temos:

( a 2 - 9 ) x 2 4 a 2 + y 2 a 2 = 1 → 3 ( a 2 - 6 ) 2 a 2 + 1 a 2 = 1 → 3 2 a 2 - 9 + 1 = a 2

a 2 - 3 2 a 2 = - 8 → - 1 2 a 2 = - 8 → a 2 = 16

Utilizando na expressão para b 2 , temos:

b 2 = 4 × 16 16 - 9 = 64 7

Finalmente, nossa equação toma a forma:

7 x 2 64 + y 2 16 = 1

Resposta

Ao longo do passo 2.