Ache a equação da elipse que tem centro na origem e verifica as condições dadas.

v é r t i c e s   V ( 0 , ± 6 )   p a s s a n d o   p o r   ( 3,2 )

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

O enunciado nos garante que esta elipse está centrada na origem do sistema de coordenadas, portanto k = h = 0 . O enunciado também nos dá informação sobre 2 pontos pertencentes à elipse, o mais simples é o vértice V ( 0 , ± 6 ) , que indica o ponto com x = 0 , e y = ± 6 , isso nos dá a seguinte expressão:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 → 36 a 2 = 1 → a 2 = 36

Utilizando esta informação e o ponto P ( 3,2 ) , em que x = 3 e y = 2 , temos:

x 2 b 2 + y 2 36 = 1 → 9 b 2 + 4 36 = 1 → 9 b 2 = 1 - 1 9 = 8 9

9 b 2 = 8 9 → b 2 = 81 8

Finalmente, nossa equação toma a forma:

8 x 2 81 + y 2 36 = 1

Resposta

Ao longo do passo 2.