Ache a equação da parábola de eixo vertical e que passa por A ( 2,5 ) , B ( - 2 , - 3 ) e C ( 1,6 ) .

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Para resolver esta questão precisamos lembrar da equação de uma parábola com eixo-y como eixo de simetria, ela é dada da seguinte forma:

( x - h ) 2 = 4 p ( y - k )           ( 1 )

Em que p é a distância do vértice à diretriz, que é a mesma distância que do foco da parábola. Assim como h e k , são as coordenadas do vértice V ( h , k ) . Esse exercício consiste em fazer um sistema de equações lineares para as constantes em aberto na equação 1 utilizando os pontos que pertencem a parábola, belezinha? Bora lá!

Passo 2

Aplicando cada um dos pontos na equação 1, temos:

A ( 2,5 )   →   ( 2 - h ) 2 = 4 p ( 5 - k ) → 4 - 4 h + h 2 = 20 p - 4 k p           ( 2 )

B ( - 2,3 )   →   ( - 2 - h ) 2 = 4 p ( 3 - k ) → 4 + 4 h + h 2 = 12 p - 4 k p           ( 3 )

C ( 1,6 )   →   ( 1 - h ) 2 = 4 p ( 6 - k ) → 1 - 2 h + h 2 = 24 p - 4 k p           ( 4 )

Podemos realizar operações algébricas nas equações 2, 3 e 4 de forma a obter os parâmetros que nos restam, vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Subtraindo a equação 2 da equação 3, temos:

( 4 + 4 h + h 2 ) - ( 4 - 4 h + h 2 ) = ( 12 p - 4 k p ) - ( 20 p - 4 k p ) →

→   8 h   =   - 8 p → p = - h           ( 5 )

Vamos guardar esta relação por enquanto e ver se conseguimos mais alguma coisa utilizando as outras equações.

Passo 4

Vamos agora subtrair a equação 3 da 4, saca só:

( 1 - 2 h + h 2 ) - ( 4 + 4 h + h 2 ) = ( 24 p - 4 k p ) - ( 12 p - 4 k p ) →

→   - 3 - 6 h = 12 p

Utilizando a equação (5), temos:

- 3 + 6 p = 12 p → - 3 = 6 p → p = - 1 / 2

Maravilha, achamos o primeiro, a equação 5 nos dá o segundo como h = 1 / 2 , portanto só nos resta utilizar qualquer uma das 3 equações calculados no passo 2 para achar a constante que falta, bora lá!

Passo 5

Utilizando a equação 4, junto com os valores que calculamos para p e h , temos:

1 - 2 ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) 2 = 24 ( - 1 / 2 ) - 4 k ( - 1 / 2 ) → 1 / 4 = - 12 + 2 k →

→ k = 1 2 ( 1 / 4 + 12 ) = 1 2 ( 1 4 + 48 4 ) = 49 8

Portanto, nossa equação toma a forma:

( x - 1 / 2 ) 2 = - 2 ( y - 49 / 8 )

Resposta

( x - 1 / 2 ) 2 = - 2 ( y - 49 / 8 )