Ache uma equação do plano π determinado por A = ( 0,1 , 0 ) , B = ( 0,0 , 2 ) e C = ( 1,0 , 1 ) . Ache uma equação do plano β cujos pontos são equidistantes de π e de α :   x + 2   y + z - 14   =   0 .

Passo 1

Beleza, pessoal? Para determinar o ponto π . Só precisamos de três vetores nesse plano. Temos, a partir dos pontos A = ( 0,1 , 0 ) , B = ( 0,0 , 2 ) e C = ( 1,0 , 1 ) :

A B → = B - A = ( 0,0 , 2 ) - ( 0,1 , 0 ) = ( 0 , - 1,2 )

A C → = C - A = ( 1,0 , 1 ) - ( 0,1 , 0 ) = ( 1 , - 1,1 )

Para o último vetor, vamos escolher um ponto X = ( x , y , z ) pertencente ao plano e calcular:

A X → = X - A = ( x , y , z ) - ( 0,1 , 0 ) = ( x , y - 1 , z )

Passo 2

Como esses vetores são l.d., já que todos eles pertencem ao plano, então o determinante deles deve ser nulo. Então, bora lá fazer essas continhas:

⎢       x                 y - 1                   z     ⎢

⎢       0               - 1                         2     ⎢ = ( - 1 + 2 ) x - ( 0 - 2 )   ( y - 1 ) + ( 0 + 1 )   z = 0

⎢       1               - 1                         1     ⎢

⇒ x + 2 y - 2 +   z = 0

Pronto! Encontramos a equação do plano

π : x + 2 y +   z - 2 = 0

Passo 3

Queremos encontrar a equação do plano β cujos pontos são equidistantes de π : x + 2 y + z - 2 = 0 e de α :   x + 2   y + z - 14   = 0 . Primeiro, temos que perceber que esses dois planos são paralelos porque seus vetores normais são iguais, n → = ( 1,2 , 1 ) . A única diferença entre eles é o valor de d , que é - 2 em π e - 14 em α . O plano β também vai ter vetor normal n → = ( 1,2 , 1 ) e para a gente garantir que seus pontos são equidistantes dos outros dois planos, vamos pegar d como e média de - 2 e - 14 , ou seja, d = - 8 . Assim, temos

β { x   +   2 y   + z - 8 = 0

Resposta

π { x   +   2 y   + z - 2 = 0 ;

β { x   +   2 y   + z - 8 = 0 .