Ache uma equação da superfície esférica S de centro na reta x   = y 2 = z - 1 e tangente ao plano x - y + 2 z - 3 = 0 , cujo raio seja 6 . Ache também as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 1

Vamos lá galera! Começaremos escrevendo as coordenadas do centro C = ( a , b , c ) na reta dada:

x   = y 2 = z - 1

⇒ a = b 2 = c - 1 = t

⇒ a = t , b = 2 t , c = 1 + t

O segundo passo é calcular a distância do centro C = ( a , b , c ) ao plano (que deve ser igual ao raio da superfície esférica), cujo vetor normal é n →   = ( 1 , - 1,2 ) :

d ( C , π ) = 6   ⇒ | a - b + 2 c - 3 | 1 + 1 + 4 = 6

⇒ | a - b + 2 c - 3 | = 6

Daí, podemos substituir os valores de a,b e c nessa equação:

| t - 2 t + 2 + 2 t - 3 | = 6

⇒ | t - 1 | = 6

⇒ t = 7   o u   t = - 5

Ou seja, temos duas opções de centros:

C = ( t , 2 t , 1 + t ) t = 7 = ( 7,14,8 )

ou

C = ( t , 2 t , 1 + t ) t = - 5 = ( - 5 , - 10 , - 4 )

Se o centro da esfera passa pela reta a = t , b = 2 t , c = 1 + t , então é possível que essa reta atravesse o plano. Vamos verificar se isso acontece substituindo as coordenadas da reta na equação do plano:

x - y + 2 z - 3 = 0

⇒   t - 2 t + 2 + 2 t - 3 = 0

⇒   t - 1 = 0

⇒ t = 1

Então, a reta atravessa o plano quando t = 1 , que corresponde justamente ao ponto médio entre os dois centros possíveis que encontramos, um de cada lado do plano. Então, por enquanto, ambas as respostas são válidas. Em t = 1 , temos o ponto

a = t = 1 , b = 2 t = 2 , c = 1 + t = 2 ⇒ R = ( 1,2 , 2 )

Se a distância desse ponto até os centros for igual ao raio da esfera, então esse vai ser o ponto de interseção. Então, vamos usar o primeiro centro e calcular o vetor

C R → = R - C = ( 1,2 , 2 ) - ( 7,14,8 ) = ( - 6 , - 12 , - 6 )

e seu módulo

| C R → | = 36 + 144 + 36 = 216 ≠ 6

Beleza, galera! Isso significa que vamos ter duas esferas com dois pontos de interseção diferentes.

Passo 2

Para acharmos o ponto de tangência entre o plano e a superfície esférica, precisamos de um ponto X = ( l , m , n ) que pertença ao plano e que forme um vetor C X →   = X - C que será paralelo ao vetor normal do plano n →   = ( 1 , - 1,2 ) . Vamos lá:

C X →   = k n →   ⇒ X - C =   ( k , - k , 2 k )

Para C = ( - 5 , - 10 , - 4 ) , temos:

( l + 5 , m + 10 , n + 4 ) =   ( k , - k , 2 k )

com isso, temos o seguinte sistema:

l + 5 = k   ⇒ l = k - 5

m + 10 = - k ⇒ m = - 10 - k

n + 4 = 2 k ⇒ n = - 4 + 2 k

Logo, X = ( k - 5 , - 10 - k , - 4 + 2 k ) . Para descobrir k , basta substituirmos os valores de X na equação do plano:

x - y + 2 z - 3 = 0

k - 5 - ( - 10 - k ) + 2 ⋅ ( - 4 + 2 k ) - 3 = 0

⇒ k - 5 + 10 + k - 8 + 4 k - 3 = 0

⇒ 6 k - 6 = 0

⇒ k = 1

Portanto, o ponto de tangência é:

P =   ( 1 - 5 , - 10 - 1 , - 4 + 2 ) = ( - 4 , - 11 , - 2 )

Para C = ( 7,14,8 ) , temos:

( l - 7 , m - 14 , n - 8 ) =   ( k , - k , 2 k )

com isso, temos o seguinte sistema:

l - 7 = k   ⇒ l = k + 7

m - 14 = - k ⇒ m = 14 - k

n - 8 = 2 k ⇒ n = 8 + 2 k

Logo, X = ( k + 7,14 - k , 8 + 2 k ) . Substituirmos os valores de X na equação do plano:

k + 7 - ( 14 - k ) + 2 ⋅ ( 8 + 2 k ) - 3 = 0

⇒ k + 7 - 14 + k + 16 + 4 k - 3 = 0

⇒ 6 k + 6 = 0

⇒ k = - 1

Portanto, o ponto de tangência é:

Q =   ( - 1 + 7,14 + 1,8 - 2 ) = ( 6,15,6 )

Passo 3

Questãozinha complicada, hein? Mas estamos terminando, falta só descobrir se P = ( - 4 , - 11 , - 2 ) ou Q = ( 6,15,6 ) satisfazem a equação do plano:

x - y + 2 z - 3 = 0

P : - 4 + 11 - 4 - 3 = 0   ⇒ 11 - 11 =   0

ou

Q : 6 - 15 + 12 - 3 = 0 ⇒ 18 - 18 = 0

Logo, os dois pontos são válidos. Assim, temos:

  • Para C = ( - 5 , - 10 , - 4 ) :

s u p e r f í c i e : ( x + 5 ) 2 + ( y + 10 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 6 ; p o n t o : ( - 4 , - 11 , - 2 )

  • Para C = ( 7,14,8 ) :

s u p e r f í c i e : ( x - 7 ) 2 + ( y - 14 ) 2 + ( z - 8 ) 2 = 6 ; p o n t o : ( 6,15,6 )

Resposta

( x + 5 ) 2 + ( y + 10 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 6 ;   ( - 4 , - 11 , - 2 )

( x - 7 ) 2 + ( y - 14 ) 2 + ( z - 8 ) 2 = 6 ; ( 6,15,6 )