Ache uma equação da superfície esférica de centro na reta e tangente ao plano , cujo raio seja . Ache também as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 1
Vamos lá galera! Começaremos escrevendo as coordenadas do centro na reta dada:
O segundo passo é calcular a distância do centro ao plano (que deve ser igual ao raio da superfície esférica), cujo vetor normal é :
Daí, podemos substituir os valores de a,b e c nessa equação:
Ou seja, temos duas opções de centros:
ou
Se o centro da esfera passa pela reta , então é possível que essa reta atravesse o plano. Vamos verificar se isso acontece substituindo as coordenadas da reta na equação do plano:
Então, a reta atravessa o plano quando , que corresponde justamente ao ponto médio entre os dois centros possíveis que encontramos, um de cada lado do plano. Então, por enquanto, ambas as respostas são válidas. Em , temos o ponto
Se a distância desse ponto até os centros for igual ao raio da esfera, então esse vai ser o ponto de interseção. Então, vamos usar o primeiro centro e calcular o vetor
e seu módulo
Beleza, galera! Isso significa que vamos ter duas esferas com dois pontos de interseção diferentes.
Passo 2
Para acharmos o ponto de tangência entre o plano e a superfície esférica, precisamos de um ponto que pertença ao plano e que forme um vetor que será paralelo ao vetor normal do plano . Vamos lá:
Para , temos:
com isso, temos o seguinte sistema:
Logo, . Para descobrir , basta substituirmos os valores de na equação do plano:
Portanto, o ponto de tangência é:
Para , temos:
com isso, temos o seguinte sistema:
Logo, . Substituirmos os valores de na equação do plano:
Portanto, o ponto de tangência é:
Passo 3
Questãozinha complicada, hein? Mas estamos terminando, falta só descobrir se ou satisfazem a equação do plano:
ou
Logo, os dois pontos são válidos. Assim, temos:
- Para :
;
- Para :
;
Resposta
;
;