Ache uma equação da superfície esférica tangente ao plano no ponto e que passa por . Ache o plano tangente à superfície em .
Passo 1
E aí, galera! Vamos escrever a equação de uma esfera de raio e centro em
Sabemos que a superfície esférica é tangente ao plano no ponto . Então, o vetor que sai de até o centro deve ser proporcional ao vetor normal do plano, . Temos
Usando , obtemos as equações
Substituindo nas duas primeiras equações, obtemos e .
Passo 2
Podemos descobrir o raio lembrando que sai de até o centro. Então, o módulo desse vetor deve ser igual ao raio:
No passo anterior nós encontramos que o centro da esfera está em e que seu raio é . Assim, a equação da esfera fica da seguinte forma
Então, temos que concentrar todos os nossos esforços em obter . Agora, temos que lembrar que a esfera passa por e substituir esse ponto na equação da esfera:
Agora, é só substituir e correr pro abraço:
Então, o centro da esfera se torna e .
Passo 3
Para achar o plano tangente a superfície esférica em , precisamos do vetor
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente que queremos, então o vetor normal pode ser igual a . Então o plano é da forma
Como pertence ao plano, podemos substituir esse ponto na equação do plano e encontrar
Assim, encontramos o plano tangente
Resposta
;