Ache uma equação da superfície esférica tangente ao plano 2 x + y - z + 3 = 0 no ponto T = ( - 1 , - 1,0 ) e que passa por Q = ( 7,3 , - 4 ) . Ache o plano tangente à superfície em Q .

Passo 1

E aí, galera! Vamos escrever a equação de uma esfera de raio r e centro em C = ( a , b , c )

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r 2

Sabemos que a superfície esférica é tangente ao plano 2 x + y - z + 3 = 0 no ponto T = ( - 1 , - 1,0 ) . Então, o vetor que sai de T até o centro deve ser proporcional ao vetor normal do plano, n → = ( 2,1 , - 1 ) . Temos

T C → = C - T = ( a , b , c ) - ( - 1 , - 1,0 ) = ( a + 1 , b + 1 , c )

Usando T C → = k n → = ( 2 k , k , - k ) , obtemos as equações

a + 1 = 2 k ⇒ a = 2 k - 1

b + 1 = k ⇒ b = k - 1

c = - k

Substituindo k = - c nas duas primeiras equações, obtemos C = ( - 2 c - 1 , - c - 1 , c ) e T C → = ( a + 1 , b + 1 , c ) = ( - 2 c , - c , c ) .

Passo 2

Podemos descobrir o raio lembrando que T C → = ( - 2 c , - c , c ) sai de T até o centro. Então, o módulo desse vetor deve ser igual ao raio:

| T C → | 2 = r 2 ⇒ r 2 = 4 c 2 + c 2 + c 2 ⇒ r 2 = 6 c 2

No passo anterior nós encontramos que o centro da esfera está em C = ( - 2 c - 1 , - c - 1 , c ) e que seu raio é r 2 = 6 c 2 . Assim, a equação da esfera fica da seguinte forma

( x + 2 c + 1 ) 2 + ( y + c + 1 ) 2 + ( z - c ) 2 = 6 c 2

Então, temos que concentrar todos os nossos esforços em obter c . Agora, temos que lembrar que a esfera passa por Q = ( 7,3 , - 4 ) e substituir esse ponto na equação da esfera:

( 7 + 2 c + 1 ) 2 + ( 3 + c + 1 ) 2 + ( - 4 - c ) 2 = 6 c 2

⇒ ( 8 + 2 c ) 2 + ( 4 + c ) 2 + ( 4 + c ) 2 = 6 c 2

⇒ 64 + 32   c + 4 c 2 + 16 + 8 c + c 2 + 16 + 8 c + c 2 = 6 c 2

⇒ 6 c 2 + 48   c + 96 = 6 c 2

⇒ 48   c + 96 = 0

⇒ c = - 2

Agora, é só substituir c = - 2 e correr pro abraço:

( x + 2 c + 1 ) 2 + ( y + c + 1 ) 2 + ( z - c ) 2 = 6 c 2

⇒ ( x - 3 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 24

Então, o centro da esfera se torna C = ( 3,1 , - 2 ) e r = 24 .

Passo 3

Para achar o plano tangente a superfície esférica em Q = ( 7,3 , - 4 ) , precisamos do vetor

Q C → = C - Q = ( 3,1 , - 2 ) - ( 7,3 , - 4 ) = ( - 4 , - 2,2 )

Esse vetor é perpendicular ao plano tangente que queremos, então o vetor normal pode ser igual a n → = Q C → = ( - 4 , - 2,2 ) . Então o plano é da forma

- 4 x - 2 y + 2 z + d = 0

Como Q = ( 7,3 , - 4 ) pertence ao plano, podemos substituir esse ponto na equação do plano e encontrar

- 4 ⋅ 7 - 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ ( - 4 ) + d = 0

⇒ - 28 - 6 - 8 + d = 0

⇒ d = 42

Assim, encontramos o plano tangente

- 4 x - 2 y + 2 z + 42 = 0

⇒ 2 x + y - z - 21 = 0

Resposta

( x - 3 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 24 ;

2 x + y - z - 21 = 0