Ache lim n → ∞ ⁡ a n n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ n ) n n n / 2  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ n ) n n n / 2  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n n

lim n → ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) n n n / 2   n

l i m n → ∞ ( ln ⁡ n n n / 2   ) 1 / n

l i m n → ∞ ln ⁡ n 1 / n n n / 2 n  

l i m n → ∞ ln ⁡ n 1 / n n 1 / 2  

l i m n → ∞ ln ⁡ n 1 / n n 1 / 2   = 0  

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   =   0 , ou seja L > 1 temos que essa série é convergente

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série é convergente

lim n → ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) n n n / 2   n = 0