Enunciado

Ache lim n → ∞ ⁡ a n n . E use o teste da razão para determine se a serie converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

∑ n = 1 ∞ n 3 n  

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Ao calcular lim n → ∞ ⁡ a n n = L , temos três possibilidade de resultados:

Se L < 1 , a serie é convergente

Se L > 1 , ou lim n → ∞ ⁡ a n n = ∞   a série é divergente

Se L = 1 , nada podemos concluir sobre a série

Preparado para atacar nosso problema?

Nossa sequência é ∑ n = 1 ∞ n 3 n  

Passo 2

Calculando limite temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n n

lim n → ∞ ⁡ n 3 n   n

l i m n → ∞ ( n 3 n   ) 1 / n

l i m n → ∞ n 1 / n 3 n / n  

l i m n → ∞ n 1 / n 3 1  

l i m n → ∞ n 1 / n 3 = 1 3  

Passo 3

Até aí, tudo beleza?

Como L   = 1 3 , ou seja L> 1 logo temos que essa série converge

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Série convergente

lim n → ∞ ⁡ n 3 n   n = 1 3