Ache o limite, se existir.

underset(x -> 5)(lim) (sqrt(x - 1) - 2)/(x^2 - 25)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com indeterminação de limite, portanto vamos fazer uma breve revisão desses conceitos. De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

Considera-se f é uma função contínua. As setas indicam que à medida que delta (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de epsilon (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo delta estiver de a , mais próximo epsilon estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de delta tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Em alguns casos, o resultado do limite é do tipo {(0)/(0) o u (oo)/(oo)} quando x -> a . A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular esses limites indeterminados. Essencialmente, essa regra nos diz que se o limite underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

existe, então os dois limites são iguais

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Nos deparamos com um caso onde a substituição do valor de x resultará em uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então vamos reescrever as funções de uma forma mais simplificada racionalizando o numerador

underset(x -> 5)(lim) (sqrt(x - 1) - 2)/(x^2 - 25) = underset(x -> 5)(lim) (sqrt(x - 1) - 2)/(x^2 - 25) xx (sqrt(x - 1) + 2)/(sqrt(x - 1) + 2)

= underset(x -> 5)(lim) (x - 1 - 4)/((x - 5) (x + 5) (sqrt(x - 1) + 2))

= underset(x -> 5)(lim) (x - 5)/((x - 5) (x + 5) (sqrt(x - 1) + 2))

= underset(x -> 5)(lim) (1)/((x + 5) (sqrt(x - 1) + 2))

Passo 3

Agora que retiramos a indeterminação, vamos substituir o valor de x

underset(x -> 5)(lim) (1)/((x + 5) (sqrt(x - 1) + 2)) = (1)/((5 + 5) (sqrt(5 - 1) + 2))

= (1)/(10 (sqrt(4) + 2))

= (1)/(10 (2 + 2))

= (1)/(10 xx 4)

= (1)/(40)

Até a próxima!! =]

Resposta

(1)/(40)