Ache o limite, se existir.

underset(x -> - 3)(lim) (x^2 + 2 x - 3)/(2 x^2 + 3 x - 9)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com indeterminação de limite, portanto vamos fazer uma breve revisão desses conceitos. De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

Considera-se f é uma função contínua. As setas indicam que à medida que delta (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de epsilon (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo delta estiver de a , mais próximo epsilon estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de delta tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Em alguns casos, o resultado do limite é do tipo {(0)/(0) o u (oo)/(oo)} quando x -> a . A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular esses limites indeterminados. Essencialmente, essa regra nos diz que se o limite underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

existe, então os dois limites são iguais

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Nos deparamos com um caso onde a substituição do valor de x resultará em uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então vamos aplicar a regra de L'Hôpital

underset(x -> - 3)(lim) (x^2 + 2 x - 3)/(2 x^2 + 3 x - 9) = underset(x -> - 3)(lim) ((d)/(d x) [x^2 + 2 x - 3])/((d)/(d x) [2 x^2 + 3 x - 9])

= underset(x -> - 3)(lim) (2 x + 2 - 0)/(4 x + 3 - 0)

= underset(x -> - 3)(lim) (2 x + 2)/(4 x + 3)

Passo 3

Agora que retiramos a indeterminação, vamos substituir o valor de x

underset(x -> - 3)(lim) (2 x + 2)/(4 x + 3) = ((2 xx [ - 3 ]) + 2)/((4 xx [ - 3 ]) + 3)

= (- 6 + 2)/(- 12 + 3)

= (4)/(9)

Até a próxima!! =]

Resposta

(4)/(9)