Ache o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (5 x)/(t g (x))

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com indeterminação de limite, portanto vamos fazer uma breve revisão desses conceitos. De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

Considera-se f é uma função contínua. As setas indicam que à medida que delta (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de epsilon (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo delta estiver de a , mais próximo epsilon estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de delta tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Em alguns casos, o resultado do limite é do tipo {(0)/(0) o u (oo)/(oo)} quando x -> a . A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular esses limites indeterminados. Essencialmente, essa regra nos diz que se o limite underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

existe, então os dois limites são iguais

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Nos deparamos com um caso onde a substituição do valor de x resultará em uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então vamos reescrever as funções de uma forma mais simplificada. Utilizando a Identidade básica da Trigonometria

underset(x -> 0)(lim) (5 x)/(t g (x)) = 5 underset(x -> 0)(lim) (x)/((1)/(c o t (x)))

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital

5 underset(x -> 0)(lim) (x)/((1)/(c o t (x))) = 5 underset(x -> 0)(lim) ((d)/(d x) [x])/((d)/(d x) [(1)/(c o t (x))]) = 5 underset(x -> 0)(lim) (1)/(sec^2 ( x )) = underset(x -> 0)(lim) (5)/(sec^2 ( x ))

Passo 4

Agora que retiramos a indeterminação, vamos substituir o valor de x

underset(x -> 0)(lim) (5)/(sec^2 ( x )) = (5)/(1) = 5

Até a próxima!! =]

Resposta

5