Ache o limite, se existir.

underset(x -> 4)(lim) (x - 4)/(root(3)(x + 4) - 2)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com indeterminação de limite, portanto vamos fazer uma breve revisão desses conceitos. De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

Considera-se f é uma função contínua. As setas indicam que à medida que delta (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de epsilon (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo delta estiver de a , mais próximo epsilon estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de delta tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Em alguns casos, o resultado do limite é do tipo {(0)/(0) o u (oo)/(oo)} quando x -> a . A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular esses limites indeterminados. Essencialmente, essa regra nos diz que se o limite underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

existe, então os dois limites são iguais

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Nos deparamos com um caso onde a substituição do valor de x resultará em uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então vamos reescrever as funções de uma forma mais simplificada.

underset(x -> 4)(lim) (x - 4)/(root(3)(x + 4) - 2) = underset(x -> 4)(lim) (x - 4)/((x + 4)^((1)/(3)) - 2)

Passo 3

Pela regra de L'Hôpital

underset(x -> 4)(lim) (x - 4)/((x + 4)^((1)/(3)) - 2) = underset(x -> 4)(lim) ((d)/(d x) [x - 4])/((d)/(d x) [(x + 4)^((1)/(3)) - 2])

= underset(x -> 4)(lim) ((d)/(d x) [x] - (d)/(d x) [4])/((d)/(d x) [(x + 4)^((1)/(3))] - (d)/(d x) [2])

Passo 4

Derivando a função do denominador pela regra da cadeia que diz

(d)/(d x) [f (g (x))] = f^' (g (x)) g ' ( x )

Onde f (x) = x^((1)/(3)) e g (x) = x + 4 . Assim,

f^' ( x ) = (1)/(3) (x + 4)^((1)/(3) - 1) (d)/(d x) [x + 4]

= (1)/(3) (x + 4)^(- (2)/(3)) [1 + 0]

= (1)/(3 (x + 4)^((2)/(3)))

Passo 5

Retornando ao limite

underset(x -> 4)(lim) (1 - 0)/((1)/(3 (x + 4)^((2)/(3))) - 0)

= underset(x -> 4)(lim) (1)/((1)/(3 (x + 4)^((2)/(3))))

Passo 6

Agora que retiramos a indeterminação, vamos substituir o valor de x

underset(x -> 4)(lim) (1)/((1)/(3 (x + 4)^((2)/(3)))) = (1)/((1)/(3 (4 + 4)^((2)/(3))))

= (1)/((1)/(3 root(3)(8^2)))

= (1)/((1)/(3 root(3)(64)))

= (1)/((1)/(3 xx 4))

= (1)/((1)/(12))

= 12

Até a próxima!! =]

Resposta

12