Ache o limite, se existir.

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 3 x + 2)/(x^2 - 2 x - 1)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com indeterminação de limite, portanto vamos fazer uma breve revisão desses conceitos. De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

Considera-se f é uma função contínua. As setas indicam que à medida que delta (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de epsilon (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo delta estiver de a , mais próximo epsilon estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de delta tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Em alguns casos, o resultado do limite é do tipo {(0)/(0) o u (oo)/(oo)} quando x -> a . A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular esses limites indeterminados. Essencialmente, essa regra nos diz que se o limite underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

existe, então os dois limites são iguais

underset(x -> a)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> a)(lim) (f ' (x))/(g ' (x))

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Nos deparamos com um caso onde a substituição do valor de x resultará em uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então vamos aplicar a regra de L'Hôpital

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 3 x + 2)/(x^2 - 2 x - 1) = underset(x -> 1)(lim) ((d)/(d x) [x^3 - 3 x + 2])/((d)/(d x) [x^2 - 2 x - 1])

= underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - 3 + 0)/(2 x - 2 - 0)

= underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - 3)/(2 x - 2)

Passo 3

Agora vamos substituir o valor de x

underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - 3)/(2 x - 2) = ([3 xx 1^2] - 3)/((2 xx 1) - 2) = (3 - 3)/(2 - 2) = (0)/(0)

Observe que mesmo com a aplicação da regra de L'Hôpital, encontramos a indeterminação, logo podemos concluir que está função não é contínua em x -> 1 como mostra a imagem abaixo

Até a próxima!! =]

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