Ache o limite, se existir

underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^2)

Passo 1

Show de bola, galera. Esta seção é dedicada a estudarmos os limites que possuem uma forma indeterminada. Isto é maravilhoso porque podemos usar a técnica de L’Hopital, ao invés de fazermos manipulações algébricas tediosas que foram feitas no capítulo 2. Sendo assim, vamos lá.

Passo 2

Sendo assim, vamos usar a técnica de L’Hopital que consiste em derivarmos separadamente o numerador e o denominador. Vamos lá

underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^2) overset(L ' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((x + 1 - e^x)^')/((x^2)^') = underset(x -> 0)(l i m) (1 + 0 - e^x)/(2 x)

Este limite nos fornece como resultado 0 // 0 , o que significa que vamos ter que usar a técnica de L’Hopital novamente:

Passo 3

underset(x -> 0)(l i m) (1 - e^x)/(2 x) overset(L^' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((1 - e^x)^')/((2 x)^') = underset(x -> 0)(l i m) (0 - e^x)/(2) = (- e^0)/(2) = (- 1)/(2)

:. underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^2) = - (1)/(2)

Viu como foi bem fácil e simples? Vamos para a próxima!

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^2) = - (1)/(2)