Ache o limite, se existir

underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^3)

Passo 1

Show de bola, galera. Esta seção é dedicada a estudarmos os limites que possuem uma forma indeterminada. Isto é maravilhoso porque podemos usar a técnica de L’Hopital, ao invés de fazermos manipulações algébricas tediosas que foram feitas no capítulo 2. Sendo assim, vamos lá.

Passo 2

Sendo assim, vamos usar a técnica de L’Hopital que consiste em derivarmos separadamente o numerador e o denominador. Vamos lá

underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^3) overset(L ' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((x + 1 - e^x)^')/((x^3)^') = underset(x -> 0)(l i m) (1 + 0 - e^x)/(3 x^2)

Este limite nos fornece como resultado 0 // 0 , o que significa que vamos ter que usar a técnica de L’Hopital novamente:

Passo 3

underset(x -> 0)(l i m) (1 + 0 - e^x)/(3 x^2) overset(L ' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((1 + 0 - e^x)^')/((3 x^2) ') = underset(x -> 0)(l i m) (0 - e^x)/(6 x) = underset(x -> 0)(l i m) (- e^x)/(6 x)

E aqui chegamos em um ponto onde a maioria dos estudantes costuma cometer um deslize que pode custar de 1 a 3 pontos numa prova, sem exageros. Porque agora não vamos mais ter uma fração do tipo 0 // 0 , mas 1 // 0 o que faz com que não possamos mais usar a técnica de L’Hopital. No entanto, um estudante apressado poderia dizer que o limite vai tender a - 1 // 0 -> - oo , o que seria um resultado dado sem pensar nos detalhes. Vejamos no próximo passo como proceder de maneira correta para analisarmos esse tipo de limite

Passo 4

O limite que iremos analisar será

underset(x -> 0)(l i m) (- e^x)/(6 x)

Neste ponto, devemos analisar os limites laterais e ver como as respostas se comportam: se forem iguais, o limite existe. Caso contrário, ele diverge.

underset(x -> 0^+)(l i m) (- e^x)/(6 x)

Nesse limite, o numerador tende a - 1 , enquanto que o denominador tende a zero por valores positivos, assim, teremos uma divisão do tipo

(-)/(+) = -

Assim, o limite dá

underset(x -> 0^+)(l i m) (- e^x)/(6 x) = - oo

Analisando agora o outro limite lateral, teremos:

underset(x -> 0^-)(l i m) (- e^x)/(6 x)

Nesse limite, o numerador tende novamente a - 1 , enquanto que o denominador tende a zero por valores negativos, assim, teremos uma divisão do tipo

(-)/(-) = +

Assim, o limite dá

underset(x -> 0^-)(l i m) (- e^x)/(6 x) = oo

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

∄ underset(x -> 0)(lim) (x + 1 - e^x)/(x^3)