Ache o limite, se existir

underset(x -> 0)(lim) (x - sin x)/(x^3)

Passo 1

Show de bola, galera. Esta seção é dedicada a estudarmos os limites que possuem uma forma indeterminada. Isto é maravilhoso porque podemos usar a técnica de L’Hopital, ao invés de fazermos manipulações algébricas tediosas que foram feitas no capítulo 2. Sendo assim, vamos lá.

Passo 2

Sendo assim, vamos usar a técnica de L’Hopital que consiste em derivarmos separadamente o numerador e o denominador. Vamos lá

underset(x -> 0)(lim) (x - sin x)/(x^3) overset(L ' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((x - sin x)^')/((x^3)^') = underset(x -> 0)(l i m) (1 - cos x)/(3 x^2)

Este limite nos fornece como resultado 0 // 0 , o que significa que vamos ter que usar a técnica de L’Hopital novamente:

Passo 3

underset(x -> 0)(l i m) (1 - cos x)/(3 x^2) overset(L^' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((1 - cos x)^')/((3 x^2) ') = underset(x -> 0)(l i m) (sin x)/(6 x)

Este limite nos fornece como resultado 0 // 0 , o que significa que vamos ter que usar a técnica de L’Hopital mais uma vez:

Passo 4

underset(x -> 0)(l i m) (sin x)/(6 x) overset(L^' H o p i t a l)(->) underset(x -> 0)(l i m) ((sin x)^')/((6 x)^') = underset(x -> 0)(l i m) (cos x)/(6) = (cos 0)/(6)

:. underset(x -> 0)(lim) (x - sin x)/(x^3) = (1)/(6)

E assim, depois de mais de uma aplicação da técnica, chegamos na resposta. Então, vamos para a próxima!

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - sin x)/(x^3) = (1)/(6)