Ache os números críticos da função k(r) = - 2r³ + r - 12.
Passo 1
Queremos os números críticos da função. O que é isso? É o ponto crítico, o valor que torna a derivada da função igual a zero. No nosso problema, se k’(r)= 0, então r é o número crítico!
Para achá-lo, basta:
1 - Derivar a função;
2 - Igualar a zero e solucioná-la;
Vamos lá?
Passo 2
Bom, a derivada de um polinômio é a soma da derivada de cada parcela :)
k’(r) = - (2r³)’ + (r)' - (12)’
k’(r) = 5 * - 3 * 2r² + - 0 (afinal, derivada de constante dá 0)
k’(r) = 5 - 6r² + 1 (Afinal, qualquer número elevado a 0 dá 1)
Passo 3
Igualando k’(r) a zero:
5 - 6r² + 1 = 0
Encontramos uma equação do 4º grau! Isso significa que teremos 4 raízes.
Já sei que você deve estar com uma cara assim:

Mas calma! Vamos solucionar essa questão!
Para isso, usaremos a ideia de substituição de variável, para tornar essa equação monstrinha em uma mais fácil. Vamos tomar uma variável y = r². Note, portanto, que y² = .
5y² - 6y + 1 = 0
Bem mais simples, né? Vamos resolvê-la, e depois cuidados de r.
= (-6)² - 4 * 5 * 1
= 36 - 20
= 16
y = =
y’ = = = 1
y’’ = ==
Para y’:
y’ = r²
1 = r²
r1= 1, r2 = -1.
Para y’’:
y’’ = r²
= r²
r3 = e r4 = - .
Resposta
Os números críticos são 1, -1, , - .