Ache os números críticos da função k(r) = r 5 - 2r³ + r - 12.

Passo 1

Queremos os números críticos da função. O que é isso? É o ponto crítico, o valor que torna a derivada da função igual a zero. No nosso problema, se k’(r)= 0, então r é o número crítico!

Para achá-lo, basta:

1 - Derivar a função;

2 - Igualar a zero e solucioná-la;

Vamos lá?

Passo 2

Bom, a derivada de um polinômio é a soma da derivada de cada parcela :)

k’(r) = ( r 5 ) ' - (2r³)’ + (r)' - (12)’

k’(r) = 5 * r 4 - 3 * 2r² + r 1 - 1 - 0 (afinal, derivada de constante dá 0)

k’(r) = 5 r 4 - 6r² + 1 (Afinal, qualquer número elevado a 0 dá 1)

Passo 3

Igualando k’(r) a zero:

5 r 4 - 6r² + 1 = 0

Encontramos uma equação do 4º grau! Isso significa que teremos 4 raízes.

Já sei que você deve estar com uma cara assim:

Mas calma! Vamos solucionar essa questão!

Para isso, usaremos a ideia de substituição de variável, para tornar essa equação monstrinha em uma mais fácil. Vamos tomar uma variável y = r². Note, portanto, que y² = r 4 .

5y² - 6y + 1 = 0

Bem mais simples, né? Vamos resolvê-la, e depois cuidados de r.

Δ = (-6)² - 4 * 5 * 1

Δ = 36 - 20

Δ = 16

y = 6 ± 16 2   *   5   = 6 ± 4 2   *   5

y’ = 6 + 4 10   = 10 10 = 1

y’’ = 6 - 4 10 =   2 10   = 1 5

Para y’:

y’ = r²

1 = r²

r1= 1, r2 = -1.

Para y’’:

y’’ = r²

1 5 = r²

r3 = 1 5 e r4 = - 1 5 .

Resposta

Os números críticos são 1, -1, 1 5 , - 1 5 .