Ache os números críticos da função.

f (x) = (1 + s e n (x))/(1 - s e n ( x ))

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do quociente que diz

((f)/(g)) ' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

Onde f (x) = 1 + s e n (x) e g (x) = 1 - s e n (x) . Assim,

((f)/(g))^' = ((d)/(d x) [1 + s e n (x)] (1 - s e n (x)) - (1 + s e n (x)) (d)/(d x) [1 - s e n (x)])/((1 - s e n (x))^2)

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d x) [ 1 + s e n (x) ] = c o s ( x )

A segunda derivada, nós também conhecemos

(d)/(d x) [1 - s e n (x)] = - c o s ( x )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

((f)/(g))^' = ((d)/(d x) [1 + s e n (x)] (1 - s e n (x)) - (1 + s e n (x)) (d)/(d x) [1 - s e n (x)])/((1 - s e n (x))^2)

= (c o s ( x ) (1 - s e n (x)) - ( 1 + s e n (x) ) ( - cos (x) ))/((1 - s e n (x))^2)

= (cos (x) - s e n (x) cos (x) + cos (x) + s e n (x) c o s ( x ))/((1 - s e n (x))^2)

= (2 c o s ( x ))/((1 - s e n (x))^2)

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

1 - s e n (x) = 0

s e n (x) = 1

Os valores para x = (pi)/(2) + 2 pi n .

Passo 6

O domínio da função existe para todo x -> 2 pi n <= x < (pi)/(2) + 2 pi n ou (pi)/(2) + 2 pi n < x < 2 pi + 2 pi n , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (x) = 0 , assim

1 + s e n (x) = 0

s e n (x) = - 1

Os valores para x = (3 pi)/(2) + 2 pi n .

Passo 7

O valor x = (pi)/(2) + 2 pi n não está dentro do domínio, logo os pontos críticos são

x = (3 pi)/(2) + 2 pi n

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

x = (3 pi)/(2) + 2 pi n