Ache os números críticos da função.

f (x) = ( 2 x - 5 ) sqrt(x^2 - 4)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do produto que diz

(f xx g) ' = f^' xx g + f xx g '

Onde f (x) = ( 2 x - 5 ) e g (x) = sqrt(x^2 - 4) . Assim,

(f xx g)^' = (d)/(d x) [2 x - 5] (sqrt(x^2 - 4)) + (2 x - 5) (d)/(d x) [sqrt(x^2 - 4)]

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d x) [2 x - 5] = 2 - 0 = 2

Já a segunda derivada, temos que aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d x) [f (g (x))] = f^' (g (x)) g ' ( x )

Onde f (x) = x^((1)/(2)) e g (x) = x^2 - 4 . Assim,

f^' ( x ) = (1)/(2) (x^2 - 4)^((1)/(2) - 1) (d)/(d x) [x^2 - 4]

= (1)/(2) (x^2 - 4)^(- (1)/(2)) [2 x - 0]

= (2 x)/(2 (x^2 - 4)^((1)/(2)))

= (x)/(sqrt(x^2 - 4))

Passo 4

Retornando a equação inicial,

(f xx g)^' = (d)/(d x) [2 x - 5] (sqrt(x^2 - 4)) + (2 x - 5) (d)/(d x) [sqrt(x^2 - 4)]

= 2 sqrt(x^2 - 4) + ( 2 x - 5 ) (x)/(sqrt(x^2 - 4))

Simplificando

= (2 (sqrt(x^2 - 4)) (sqrt(x^2 - 4)) + 2 x^2 - 5 x)/(sqrt(x^2 - 4))

= (2 (x^2 - 4) + 2 x^2 - 5 x)/(sqrt(x^2 - 4))

= (2 x^2 - 8 + 2 x^2 - 5 x)/(sqrt(x^2 - 4))

Logo,

(f xx g)^' = (4 x^2 - 5 x - 8)/(sqrt(x^2 - 4))

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

Encontramos dois valores de x

x_1 = 2

x_2 = - 2

Passo 6

Temos outra condição, f^' (x) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

4 x^2 - 5 x - 8

Aplicando fórmula quadrática, sendo a = 4 , b = - 5 e c = - 8

(- ( - 5 ) +- sqrt(( - 5 )^2 - 4 xx 4 xx ( - 8 )))/(2 xx 4)

(5 +- sqrt(25 + 128))/(8)

(5 +- sqrt(153))/(8)

(5 +- sqrt(3^2 xx 17))/(8)

(5 +- 3 sqrt(17))/(8)

Encontramos dois valores de x

x_1 = (5 + 3 sqrt(17))/(8)

x_2 = (5 - 3 sqrt(17))/(8)

Passo 7

Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função f (x) = ( 2 x - 5 ) sqrt(x^2 - 4) está entre (- oo , - 2] uu [ 2 , oo ) .

Avaliando os pontos encontrados no Passo 5

x_2 = (5 - 3 sqrt(17))/(8) tilde= - 0,921 > - 2

Não está dentro do domínio, logo pode ser descartado.

x_1 = (5 + 3 sqrt(17))/(8) tilde= 2,171 > 2

Está dentro do domínio, logo é um ponto crítico.

Podemos concluir que os pontos críticos são

{[[x = - 2],[x = 2],[x = (5 + 3 sqrt(17))/(8)]])

Até a próxima!! =]

Resposta

x = - 2 ; x = 2 ; x = (5 + 3 sqrt(17))/(8)