Ache os números críticos da função.

K (theta) = s e n (2 theta) + 2 c o s ( theta )

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

A soma de duas funções pode ser derivada separadamente. Derivando o primeiro termo, vamos aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d t) [f (g (theta))] = f^' (g (theta)) g ' ( theta )

Onde f (theta) = s e n ( theta ) e g (theta) = 2 theta . Assim,

f^' ( theta ) = c o s (2 theta) (d)/(d theta) [2 theta]

= 2 c o s ( 2 theta )

Passo 3

A segunda derivada, nós conhecemos

2 (d)/(d theta) [cos (theta)] = - 2 s e n ( theta )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

K^' (theta) = 2 cos (2 theta) + (- 2 s e n (theta))

K^' (theta) = 2 cos (2 theta) - 2 s e n (theta)

Passo 5

O domínio da função existe para todo theta -> - oo < theta < oo , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (theta) = 0 , sendo eles

{[[theta = (pi)/(6) + 2 pi n],[theta = (5 pi)/(6) + 2 pi n],[theta = (3 pi)/(2) + 2 pi n]])

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

theta = (pi)/(6) + 2 pi n ; theta = (5 pi)/(6) + 2 pi n ; theta = (3 pi)/(2) + 2 pi n