Ache os números críticos da função.

f (z) = sqrt(z^2 - 16)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra da cadeia que diz

(d)/(d z) [f (g (z))] = f^' (g (z)) g ' ( z )

Onde f (z) = z^((1)/(2)) e g (z) = z^2 - 16 . Assim,

f^' ( z ) = (1)/(2) (z^2 - 16)^((1)/(2) - 1) (d)/(d z) [z^2 - 16]

= (1)/(2) (z^2 - 16)^(- (1)/(2)) [2 z - 0]

= (2 z)/(2 (z^2 - 16)^((1)/(2)))

Passo 3

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

z^2 - 16 = 0

z^2 = 16

z = sqrt(16)

Logo, os pontos críticos são

{[[z = 4],[z = - 4]])

Até a próxima!! =]

Resposta

z = 4 ; z = - 4