Ache os números críticos da função.

f (x) = root(3)(x^2 - x - 2)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra da cadeia que diz

(d)/(d x) [f (g (x))] = f^' (g (x)) g ' ( x )

Onde f (x) = x^((1)/(3)) e g (x) = x^2 - x - 2 . Assim,

f^' ( x ) = (1)/(3) (x^2 - x - 2)^((1)/(3) - 1) (d)/(d x) [x^2 - x - 2]

= (1)/(3) (x^2 - x - 2)^(- (2)/(3)) [2 x - 1 - 0]

= (2 x - 1)/(3 (x^2 - x - 2)^((2)/(3)))

Passo 3

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

x^2 - x - 2 = 0

Aplicando fórmula quadrática, sendo a = 1 , b = - 1 e c = - 2

(- ( - 1 ) +- sqrt(( - 1 )^2 - 4 xx 1 xx ( - 2 )))/(2 xx 1)

(1 +- sqrt(1 + 8))/(2)

(1 +- sqrt(9))/(2)

(1 +- 3)/(2)

Encontramos dois valores de x

x_1 = (1 + 3)/(2) = (4)/(2) = 2

x_2 = (1 - 3)/(2) = - (2)/(2) = - 1

Passo 4

Temos outra condição, f^' (x) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

2 x - 1 = 0

2 x = 1

x = (1)/(2)

Logo, os pontos críticos são

{[[x = - 1],[x = (1)/(2)],[x = 2]])

Até a próxima!! =]

Resposta

x = - 1 ; x = (1)/(2) ; x = 2