Ache os números críticos da função.

g (theta) = 2 sqrt(30) + s e n ( 4 theta )

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

A soma de duas funções pode ser derivada separadamente. Derivando o segundo termo, vamos aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d t) [f (g (theta))] = f^' (g (theta)) g ' ( theta )

Onde f (theta) = s e n ( theta ) e g (theta) = 4 theta . Assim,

f^' ( theta ) = c o s (4 theta) (d)/(d theta) [4 theta]

= 4 c o s ( 4 theta )

Passo 3

A primeira derivada, nós conhecemos

(d)/(d theta) [2 sqrt(30)] = 0

A derivada de uma constante é igual a zero.

Passo 4

Retornando a equação inicial,

g^' (theta) = 4 cos (4 theta)

Passo 5

O domínio da função existe para todo theta -> - oo < theta < oo , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (theta) = 0 , sendo eles

{[[theta = (pi)/(8) + (pi)/(2) n],[theta = (3 pi)/(8) + (pi)/(2) n]])

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

theta = (pi)/(8) + (pi)/(2) n ; theta = (3 pi)/(8) + (pi)/(2) n