Ache os números críticos da função.

G (x) = (2 x - 3)/(x^2 - 9)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do quociente que diz

((f)/(g)) ' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

Onde f (x) = ( 2 x - 3 ) e g (x) = x^2 - 9 . Assim,

((f)/(g))^' = ((d)/(d x) [2 x - 3] (x^2 - 9) - (2 x - 3) (d)/(d x) [x^2 - 9])/((x^2 - 9)^2)

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d x) [2 x - 3] = 2 - 0 = 2

A segunda derivada, nós também conhecemos

(d)/(d x) [x^2 - 9] = 2 x - 0 = 2 x

Passo 4

Retornando a equação inicial,

((f)/(g))^' = ((d)/(d x) [2 x - 3] (x^2 - 9) - (2 x - 3) (d)/(d x) [x^2 - 9])/((x^2 - 9)^2)

= (2 (x^2 - 9) - (2 x - 3) ( 2 x ))/((x^2 - 9)^2)

= (2 x^2 - 18 - 4 x^2 + 6 x)/((x^2 - 9)^2)

= (- 2 x^2 + 6 x - 18)/((x^2 - 9)^2)

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

x^2 - 9 = 0

x^2 = 9

Encontramos dois valores de x

x_1 = 3

x_2 = - 3

Passo 6

Temos outra condição, f^' (x) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

- 2 x^2 + 6 x - 18 = 0

Aplicando fórmula quadrática, sendo a = - 2 , b = 6 e c = - 18

(- 6 +- sqrt(6^2 - 4 xx ( - 2 ) xx ( - 18 )))/(2 xx ( - 2 ))

(- 6 +- sqrt(36 - 144))/(- 4)

(- 6 +- sqrt(- 108))/(- 4)

Nos deparamos com um caso em que não existe raízes reais para a equação, logo não serão consideradas.

Passo 7

Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função G (x) = (2 x - 3)/(x^2 - 9) é ( - oo , 3 ) uu ( - 3 < x < 3 ) uu ( 3 , oo ) . Os pontos encontrados não estão no domínio, logo não G ( x ) não possui pontos críticos reais. A imagem abaixo comprova nosso resultado.

Até a próxima!! =]

Resposta

N e n h u m