Ache os números críticos da função.

f (s) = (s^2)/(5 s + 4)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do quociente que diz

((f)/(g)) ' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

Onde f (s) = s^2 e g (s) = 5 s + 4 . Assim,

((f)/(g))^' = ((d)/(d s) [s^2] (5 s + 4) - (s^2) (d)/(d s) [5 s + 4])/((5 s + 4)^2)

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d s) [s^2] = 2 s

A segunda derivada, nós também conhecemos

(d)/(d s) [5 s + 4] = 5 - 0 = 5

Passo 4

Retornando a equação inicial,

((f)/(g))^' = ((d)/(d s) [s^2] (5 s + 4) - (s^2) (d)/(d s) [5 s + 4])/((5 s + 4)^2)

= (2 s (5 s + 4) - 5 s^2)/((5 s + 4)^2)

= (10 s^2 + 8 s - 5 s^2)/((5 s + 4)^2)

= (5 s^2 + 8 s)/((5 s + 4)^2)

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

5 s + 4 = 0

5 s = - 4

s = - (4)/(5)

Passo 6

Temos outra condição, f^' (s) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

5 s^2 + 8 s = 0

s (5 s + 8) = 0

Encontramos dois pontos

{[[s = 0],[s = - (8)/(5)]])

Passo 7

Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função f (s) = (s^2)/(5 s + 4) é (- oo , - (4)/(5)) uu (- (4)/(5) , oo) . Os pontos encontrados estão no domínio, os pontos críticos são

{[[s = 0],[s = - (8)/(5)]])

Até a próxima!! =]

Resposta

s = 0 ; s = - (8)/(5)