Ache os números críticos da função.

f (t) = s e n^2 (t) - c o s ( t )

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

A soma de duas funções pode ser derivada separadamente. Derivando o primeiro termo, vamos aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d t) [f (g (t))] = f^' (g (t)) g ' ( t )

Onde f (t) = t^2 e g (t) = s e n ( t ) . Assim,

f^' ( t ) = 2 s e n ( t ) (d)/(d t) [s e n ( t )]

= 2 s e n ( t ) c o s ( t )

De acordo com a identidade trigonométrica do arco duplo

2 s e n (t) cos (t) = s e n (2 t)

Portanto,

f^' (t) = s e n ( 2 t )

Passo 3

A segunda derivada, nós conhecemos

(d)/(d s) [c o s ( t )] = - s e n ( t )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

f^' ( t ) = s e n (2 t) - ( - s e n (t) )

f^' (t) = s e n (2 t) + s e n (t)

Passo 5

O domínio da função existe para todo t -> - oo < t < oo , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (t) = 0 , sendo eles

{[[t = 2 pi n],[t = (2 pi)/(3) + 2 pi n],[t = pi + 2 pi n],[t = (4 pi)/(3) + 2 pi n]])

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

t = 2 pi n ; t = (2 pi)/(3) + 2 pi n ; t = pi + 2 pi n ; t = (4 pi)/(3) + 2 pi n