Ache os números críticos da função.

f (t) = t^2 root(3)(2 t - 5)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do produto que diz

(f xx g) ' = f^' xx g + f xx g '

Onde f (t) = t^2 e g (t) = root(3)(2 t - 5) . Assim,

(f xx g)^' = (d)/(d t) [t^2] (root(3)(2 t - 5)) + (t^2) (d)/(d t) [root(3)(2 t - 5)]

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d t) [t^2] = 2 t

Já a segunda derivada, temos que aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d t) [f (g (t))] = f^' (g (t)) g ' ( t )

Onde f (t) = t^((1)/(3)) e g (t) = 2 t - 5 . Assim,

f^' ( x ) = (1)/(3) (2 t - 5)^((1)/(3) - 1) (d)/(d t) [2 t - 5]

= (1)/(3) (2 t - 5)^(- (2)/(3)) [2 - 0]

= (2)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

Passo 4

Retornando a equação inicial,

(f xx g)^' = (d)/(d t) [t^2] (root(3)(2 t - 5)) + (t^2) (d)/(d t) [root(3)(2 t - 5)]

= 2 t root(3)(2 t - 5) + t^2 (2)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

Simplificando

= ((2 t (2 t - 5)^((1)/(3))) (3 (2 t - 5)^((2)/(3))) + 2 t^2)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

= (6 t (2 t - 5)^((3)/(3)) + 2 t^2)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

= (12 t^2 - 30 t + 2 t^2)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

= (1 4 t^2 - 30 t)/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

= (2 t ( 7 t - 15 ))/(3 (2 t - 5)^((2)/(3)))

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

2 t - 5 = 0

2 t = 5

t = (5)/(2)

Passo 6

Temos outra condição, f^' (x) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

2 t (7 t - 15)

Encontramos duas possibilidades

{[[2 t = 0 -> t = 0],[7 t - 15 = 0 -> t = (15)/(7)]])

Passo 7

Sabemos que o domínio da função f (t) = t^2 root(3)(2 t - 5) está entre - oo < t < oo , logo todos os valores encontrados estão no domínio.

Os pontos críticos são

{[[x = 0],[x = (5)/(2)],[x = (15)/(7)]])

Apenas uma observação: se plotarmos o gráfico da função veremos que o ponto x = (15)/(7) não ponto mínimo e nem máximo, mas é ponto crítico, como vemos abaixo

Até a próxima!! =]

Resposta

x = 0 ; x = (5)/(2) ; x = (15)/(7)