Ache os números críticos da função.
Passo 1
Olááá, tudo bem?
Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.
Os pontos críticos, de uma função derivável , são os pontos do domínio de no qual a primeira derivada é nula, , ou não é definida.
Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para .
Passo 2
Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.
Primeiro passo é derivar a função pela regra do produto que diz
Onde e . Assim,
Passo 3
A primeira derivada nós conhecemos
Já a segunda derivada, temos que aplicar a regra da cadeia que diz
Onde e Assim,
Passo 4
Retornando a equação inicial,
Simplificando
Logo,
Passo 5
Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo
Encontramos dois valores de
Passo 6
Temos outra condição, se o numerador for igual a zero, logo
Aplicando fórmula quadrática, sendo , e
Encontramos dois valores de
Passo 7
Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função está entre .
Avaliando os pontos encontrados no Passo 5
Está dentro do domínio, logo é um ponto crítico.
Podemos concluir que os pontos críticos são
Até a próxima!! =]