Ache os números críticos da função.

f (x) = ( x - 3 ) sqrt(9 - x^2)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do produto que diz

(f xx g) ' = f^' xx g + f xx g '

Onde f (x) = ( x - 3 ) e g (x) = sqrt(9 - x^2) . Assim,

(f xx g)^' = (d)/(d x) [x - 3] (sqrt(9 - x^2)) + (x - 3) (d)/(d x) [sqrt(9 - x^2)]

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d x) [x - 3] = 1 - 0 = 1

Já a segunda derivada, temos que aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d x) [f (g (x))] = f^' (g (x)) g ' ( x )

Onde f (x) = x^((1)/(2)) e g (x) = 9 - x^2 Assim,

f^' ( x ) = (1)/(2) (9 - x^2)^((1)/(2) - 1) (d)/(d v) [9 - x^2]

= (1)/(2) (9 - x^2)^(- (1)/(2)) [- 2 x]

= (- 2 x)/(2 (9 - x^2)^((1)/(2)))

= (- x)/(sqrt(9 - x^2))

Passo 4

Retornando a equação inicial,

(f xx g)^' = (d)/(d x) [x - 3] (sqrt(9 - x^2)) + (x - 3) (d)/(d x) [sqrt(9 - x^2)]

= 1 sqrt(9 - x^2) + ( x - 3 ) (- x)/(sqrt(9 - x^2))

Simplificando

= ((sqrt(9 - x^2)) (sqrt(9 - x^2)) - x^2 + 3 x)/(sqrt(9 - x^2))

= (9 - x^2 - x^2 + 3 x)/(sqrt(9 - x^2))

= (- 2 x^2 + 3 x + 9)/(sqrt(9 - x^2))

Logo,

(f xx g)^' = (- 2 x^2 + 12)/(sqrt(9 - x^2))

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

9 - x^2 = 0

x^2 = 9

Encontramos dois valores de x

x_1 = 3

x_2 = - 3

Passo 6

Temos outra condição, f^' (x) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

- 2 x^2 + 3 x + 9 = 0

Aplicando fórmula quadrática, sendo a = - 2 , b = 3 e c = 9

(- 3 +- sqrt(3^2 - 4 xx ( - 2 ) xx 9))/(2 xx ( - 2 ))

(- 3 +- sqrt(9 + 72))/(- 4)

(- 3 +- sqrt(81))/(- 4)

(- 3 +- 9)/(- 4)

Encontramos dois valores de x

x_1 = (- 3 + 9)/(- 4) = (- 6)/(- 4) = - (3)/(2)

x_2 = (- 3 - 9)/(- 4) = (- 12)/(- 4) = 3

Passo 7

Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função f (x) = ( x - 3 ) sqrt(9 - x^2) está entre - 3 <= x <= 3 .

Avaliando os pontos encontrados no Passo 5

- 3 < - (3)/(2) < 3

Está dentro do domínio, logo é um ponto crítico.

Podemos concluir que os pontos críticos são

{[[x = - 3],[x = - (3)/(2)],[x = 3]])

Até a próxima!! =]

Resposta

x = - 3 ; x = - (3)/(2) ; x = 3