Ache os números críticos da função.

f (v) = ( 4 v + 1 ) sqrt(v^2 - 16)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do produto que diz

(f xx g) ' = f^' xx g + f xx g '

Onde f (v) = ( 4 v + 1 ) e g (v) = sqrt(v^2 - 16) . Assim,

(f xx g)^' = (d)/(d v) [4 v + 1] (sqrt(v^2 - 16)) + (4 v + 1) (d)/(d v) [sqrt(v^2 - 16)]

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d v) [4 v + 1] = 4 + 0 = 4

Já a segunda derivada, temos que aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d v) [f (g (v))] = f^' (g (v)) g ' ( v )

Onde f (v) = v^((1)/(2)) e g (v) = v^2 - 16 . Assim,

f^' ( v ) = (1)/(2) (v^2 - 16)^((1)/(2) - 1) (d)/(d v) [v^2 - 16]

= (1)/(2) (v^2 - 16)^(- (1)/(2)) [2 v - 0]

= (2 v)/(2 (v^2 - 16)^((1)/(2)))

= (v)/(sqrt(v^2 - 16))

Passo 4

Retornando a equação inicial,

(f xx g)^' = (d)/(d v) [4 v + 1] (sqrt(v^2 - 16)) + (4 v + 1) (d)/(d v) [sqrt(v^2 - 16)]

= 4 sqrt(v^2 - 16) + ( 4 v + 1 ) (v)/(sqrt(v^2 - 16))

Simplificando

= (4 (sqrt(v^2 - 16)) (sqrt(v^2 - 16)) + 4 v^2 + v)/(sqrt(v^2 - 16))

= (4 (v^2 - 16) + 4 v^2 + v)/(sqrt(v^2 - 16))

= (4 v^2 - 64 + 4 v^2 + v)/(v^2 - 16)

Logo,

(f xx g)^' = (8 v^2 + v - 64)/(sqrt(v^2 - 16))

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

v^2 - 16 = 0

v^2 = 16

Encontramos dois valores de v

v_1 = 4

v_2 = - 4

Passo 6

Temos outra condição, f^' (v) = 0 se o numerador for igual a zero, logo

8 v^2 + v - 64

Aplicando fórmula quadrática, sendo a = 8 , b = 1 e c = - 64

(- 1 +- sqrt(1^2 - 4 xx 8 xx ( - 64 )))/(2 xx 8)

(- 1 +- sqrt(1 + 2048))/(16)

(- 1 +- sqrt(2049))/(16)

Encontramos dois valores de v

v_1 = (- 1 + sqrt(2049))/(16)

v_2 = (- 1 - sqrt(2049))/(16)

Passo 7

Por causa dos valores do denominador, sabemos que o domínio da função f (v) = ( 4 v + 1 ) sqrt(v^2 - 16) está entre (- oo , - 4] uu [ 4 , oo ) .

Avaliando os pontos encontrados no Passo 5

v_1 = (- 1 + sqrt(2049))/(16) tilde= 2 , 766 < 4

Não está dentro do domínio, logo pode ser descartado.

v_2 = (- 1 - sqrt(2049))/(16) tilde= - 2 , 891 > - 4

Também não está dentro do domínio, logo pode ser descartado.

Podemos concluir que os pontos críticos são

{[[x = 4],[x = - 4]])

Até a próxima!! =]

Resposta

x = - 4 ; x = 4