Ache os números críticos da função.

s (t) = (s e c (t) + 1)/(s e c (t) - 1)

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

Primeiro passo é derivar a função pela regra do quociente que diz

((f)/(g)) ' = (f^' xx g - f xx g ')/(g^2)

Onde f (t) = s e c (t) + 1 e g (t) = s e c (t) - 1 . Assim,

((f)/(g))^' = ((d)/(d t) [s e c (t) + 1] (s e c (t) - 1) - (s e c (t) + 1) (d)/(d t) [s e c (t) - 1])/((s e c (t) - 1)^2)

Passo 3

A primeira derivada nós conhecemos

(d)/(d t) [ s e c (t) + 1 ] = s e c ( t ) t g ( t )

A segunda derivada, nós também conhecemos

(d)/(d t) [ s e c (t) - 1 ] = s e c ( t ) t g ( t )

Passo 4

Retornando a equação inicial,

((f)/(g))^' = ((d)/(d t) [s e c (t) + 1] (s e c (t) - 1) - (s e c (t) + 1) (d)/(d t) [s e c (t) - 1])/((s e c (t) - 1)^2)

= (s e c ( t ) t g ( t ) ( sec (t) - 1 ) - ( sec (t) + 1 ) ( s e c ( t ) t g ( t ) ))/((s e c (t) - 1)^2)

Simplificando

= - (2 s e c ( t ) t g ( t ))/((s e c (t) - 1)^2)

Passo 5

Para que a derivada seja definida, o denominador não poder se igual a zero, logo

s e c (t) - 1 = 0

s e c (t) = 1

Os valores para t = 2 pi n .

Passo 6

O domínio da função existe para todo t -> 2 pi n <= t < (pi)/(2) + 2 pi n ou (pi)/(2) + 2 pi n < t < (3 pi)/(2) + 2 pi n , logo o único ponto crítico é definido em s^' (t) = 0 , é

t = pi + 2 pi n

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

t = pi + 2 pi n