Ache os números críticos da função K(z) = 4z³ + 5z² - 42z + 7.

Passo 1

FALAAA, MEU MATEMÁTICO!

Para resolvê-lo, você precisa saber a seguinte informação:

Número crítico/ponto crítico é o valor que torna a derivada da função igual a zero. No nosso problema, se K’(z) = 0, então z é o ponto crítico!

Para achá-lo, basta:

1 - Derivar a função;

2 - Igualar a zero e solucioná-la;

Vamos lá?

Passo 2

Derivar K(z):

K(z) = 4z³ + 5z² - 42z + 7

Lembrando que a derivada de um polinômio é a derivada de cada termo separadamente:

K’(z) =(4z³)’ + (5z²)’ - (42z)’ + (7)’

Utilizando a regra do peteleco:

K’(z) = 3 * 4 * z 3 - 1 + 2 * 5 * z 2 - 1 - 42 * z 1 - 1 + 0

K’(z) =12 z 2 + 10 z 1 - 42 * z 0 + 0

Duas informações importantes:

1 - Derivada de constante é zero;

2 - Qualquer número elevado a zero dá 1;

K’(z) = 12z² + 10z - 42

Passo 3

Igualando K’(z) a zero:

12z² + 10z - 42 = 0

Aplicando Bhaskara:

Δ = (10)² - 4 * 12 * - 42

Δ = 100 + 2016

Δ = 2116

z = -   10   ±   2116 2   *   12 = -   10   ±   46 24

z’ = -   10   +   46 24 = 36 24 = 3 2

z’’ = -   10   -     46 24 = - 56 24 = - 7 3

Resposta

3 2 e - 7 3 .