Ache os números críticos da função.

f (x) = 8 cos^3 ( x ) - 3 s e n ( 2 x ) - 6 x

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

A soma de duas funções pode ser derivada separadamente. Derivando o primeiro termo, vamos aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d x) [f (g (x))] = f^' (g (x)) g ' ( x )

Onde f (x) = x^3 e g (x) = c o s ( x ) . Assim,

f^' ( x ) = 8 [3 c o s^2 (x) (d)/(d x) [c o s (x)]]

= - 24 c o s^2 ( t ) s e n ( t )

Passo 3

A segunda derivada, também vamos aplicar a regra da cadeia, onde f (x) = s e n ( x ) e g (x) = 2 x . Assim,

f^' ( x ) = 3 [c o s (2 x) (d)/(d x) [2 x]]

= 6 c o s ( 2 x )

Passo 4

A terceira derivada é conhecida

(d)/(d x) [6 x] = 6

Passo 5

Retornando a equação inicial,

f^' (x) = - 24 c o s^2 (t) - 6 cos (2 x) - 6

Passo 6

O domínio da função existe para todo x -> - oo < x < oo , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (x) = 0 , sendo eles

{[[x = (pi)/(2) + 2 pi n],[x = (7 pi)/(6) + 2 pi n],[x = (3 pi)/(2) + 2 pi n],[x = (11 pi)/(6) + 2 pi n]])

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

x = (pi)/(2) + 2 pi n ; x = (7 pi)/(6) + 2 pi n ; x = (3 pi)/(2) + 2 pi n ; x = (11 pi)/(6) + 2 pi n