Ache os números críticos da função.

g (t) = 4 s e n^3 (t) + 3 sqrt(2) cos^2 ( t )

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com derivada de função e pontos críticos. Obter os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, muitas vezes, não é uma tarefa fácil porque a construção do gráfico de algumas funções é muito complicada. Uma técnica que facilita a nossa vida é encontrar a derivada da função e, a partir dela, identificar os pontos críticos.

Os pontos críticos, de uma função derivável f , são os pontos do domínio de f no qual a primeira derivada é nula, f^' (x) = 0 , ou não é definida.

Uma observação a ser feita é que existem funções com um ponto crítico que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos a resolução.

A soma de duas funções pode ser derivada separadamente. Derivando o primeiro termo, vamos aplicar a regra da cadeia que diz

(d)/(d t) [f (g (t))] = f^' (g (t)) g ' ( t )

Onde f (t) = t^3 e g (t) = s e n (t) . Assim,

f^' ( t ) = 4 [3 s e n^2 (t) (d)/(d t) [s e n (t)]]

= 12 s e n^2 ( t ) c o s ( t )

Passo 3

A segunda derivada, também vamos derivar pela regra da cadeia

Onde f (t) = t^2 e g (t) = c o s (t) . Assim,

f^' ( t ) = 3 sqrt(2) [2 c o s (t) (d)/(d t) [cos (t)]]

= 6 sqrt(2) c o s ( t ) ( - sen (t) )

= - 6 sqrt(2) c o s ( t ) sen (t)

Passo 4

Retornando a equação inicial,

f^' (t) = 12 s e n^2 ( t ) c o s ( t ) + (- 6 sqrt(2) c o s (t) sen (t))

f^' (t) = s e n (2 t) + s e n (t)

Passo 5

O domínio da função existe para todo t -> - oo < t < oo , logo os pontos críticos ocorrem quando f^' (t) = 0 , sendo eles

{[[t = 2 pi n],[t = (pi)/(4) + 2 pi n],[t = (pi)/(2) + 2 pi n],[t = (3 pi)/(4) + 2 pi n],[t = pi + 2 pi n],[t = (3 pi)/(2) + 2 pi n]])

Onde n = 1 , 2 , 3 ... , uma vez que não temos um intervalo definido, como mostra a imagem

Até a próxima!! =]

Resposta

t = 2 pi n ; t = (pi)/(4) + 2 pi n ; t = (pi)/(2) + 2 pi n ; t = (3 pi)/(4) + 2 pi n ; t = pi + 2 pi n ; t = (3 pi)/(2) + 2 pi n