Ache a superfície esférica S , tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sendo P = ( 1,2 , 0 ) um ponto de S .

Passo 1

E aí, galera! Questão igualzinha a 213. Já sabemos que o ponto de tangência na superfície esférica nos fornece o raio dessa superfície com centro da esfera C   = ( a , b , c ) . Como o ponto P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto de S , haverá um vetor C P → paralelo ao vetor normal ao plano. Então, vamos começar descobrindo qual é esse plano ao substituir o valor de P em:

π 1 :   2 x + 2 y + z - 6 = 0   ⇒   2 + 4 - 6   = 0 ⇒ 0 = 0

π 2 :   2 x + 2 y + z + 12 = 0   ⇒ 2 + 4 + 12   =   0 ⇒ 18   ≠ 0

Pronto, o plano π 1 é quem buscamos que contém o ponto P e seu vetor normal é igual a n →   = ( 2,2 , 1 ) . Logo,

C P   → =   k ( 2,2 , 1 )  

⇒ ( 1,2 , 0 ) - ( a , b , c )   = ( 2 k , 2 k , k )

⇒ ( 1 - a , 2 - b , - c )   =   ( 2 k , 2 k , k )

Daí, temos o seguinte sistema:

1 - a =   2 k ⇒ a   = 1 - 2 k

2 - b   =   2 k ⇒ b = 2 - 2 k

- c   =   k ⇒ c = - k

Sucesso. Temos C   =   ( 1 - 2 k , 2 - 2 k , - k ) .

Passo 2

Para terminar essa questão, precisamos descobrir o valor de k . Não vão esquecer ou querer “chutar”. Para isso, vamos atentar ao fato de que d ( C ,   π 1 )   =   d ( C ,   π 2 ) . Então, vamos fazer umas continhas:

| 2   ⋅   ( 1 - 2 k )   +     2   ⋅   ( 2 - 2 k )   +   1   ⋅   ( - k )   -   6 | 4 + 4 + 1 = | 2   ⋅   ( 1 - 2 k )   +     2   ⋅   ( 2 - 2 k )   +   1   ⋅   ( - k )   +   12 | 4 + 4 + 1

⇒ | 2 - 4 k   +   4 - 4 k   - k   -   6 | 3 = | 2 - 4 k   +   4 - 4 k   - k     +   12 | 3

⇒ | - 9 k | = | - 9 k   +   18 |

⇒ 9 k = - 9 k   +   18

⇒   k   =   1

Logo, com C   =   ( - 1,0 , - 1 ) e r   =   d ( C , π 1 ) =   | - 9 k | 3 = 3 , temos substituir os valores na equação reduzida da superfície esférica:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r 2

⇒ ( x + 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 9

Resposta

( x + 1 ) 2 + y 2 + ( z + 1 ) 2 = 9