1. Ache a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo dado.
  2. Ache a taxa instantânea de variação de y em relação a x no ponto extremo esquerdo do intervalo.

y = 3 - 2 x 2 ;                                   [ 2 ; 2,4 ]

Passo 1

Segundo a Definição (3.4), seja y = f ( x ) , onde f é definida em um intervalo aberto contendo a .

  1. A taxa média de variação de y = f ( x ) em relação a x no intervalo [ a , a + h ] é
  2. y m = f a + h - f a h

  3. A taxa instantânea de variação de y em relação a x em a é

y a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.4), vamos resolver a questão.

  1. Para [ 2 ; 2,4 ]
  2. v m = s t + x - s t ∆ x = s 2,4 - s 2 2,4 - 2

    = 3 - 2 2,4 2 - 3 - 2 × 2 2 0 , 4

    = 3 - 2 × 5,76 - 3 + 8 0 , 4

    = - 3,52 0 , 4

    v m = - 8,8   m / s 2

    Passo 3

  3. Iremos substituir x = a e f x = x 2 + 2 na equação

y m = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

= lim h  → 0 ⁡ 3 - 2 a + h 2 - 3 - 2 a 2 h

= lim h  → 0 ⁡ 3 - 2 a 2 + 2 a h + h 2 - 3 + 2 a 2 h

= lim h  → 0 ⁡ - 2 a 2 + 4 a h + 2 h 2 + 2 a 2 h

Simplificando a equação,

= lim h  → 0 ⁡ h ( 4 a + 2 h ) h

y m = lim h  → 0 ⁡ 4 a + 2 h

Agora vamos substituir o valor de h na equação.

y m = lim h  → 0 ⁡ 4 a + 2 h = 4 a + 2 × 0

y m = 4 a

Sendo a = x = 2 , temos que

y m = 4 × 2

y m = 8   m / s 2

Resposta

a   y m = - 8,8   m / s 2

b   y a = 8   m / s 2