1. Ache a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo dado.
  2. Ache a taxa instantânea de variação de y em relação a x no ponto extremo esquerdo do intervalo.

y = x 2 + 2 ;                                   [ 3 ; 3,5 ]

Passo 1

Segundo a Definição (3.4), seja y = f ( x ) , onde f é definida em um intervalo aberto contendo a .

  1. A taxa média de variação de y = f ( x ) em relação a x no intervalo [ a , a + h ] é
  2. y m = f a + h - f a h

  3. A taxa instantânea de variação de y em relação a x em a é

y a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.4), vamos resolver a questão.

  1. Para [ 3 ; 3,5 ]
  2. v m = s t + x - s t ∆ x = s 3,5 - s 3 3,5 - 3

    = 3,5 2 + 2 - 3 2 + 2 0,5

    = 12,25 + 2 - 9 - 2 0,5

    = 3,25 0,5

    v m = 6,5   m / s 2

    Passo 3

  3. Iremos substituir x = a e f x = x 2 + 2 na equação

y m = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

= lim h  → 0 ⁡ a + h 2 + 2 - a 2 + 2 h

= lim h  → 0 ⁡ a + h 2 + 2 - a 2 + 2 h

= lim h  → 0 ⁡ a 2 + 2 a h + h 2 + 2 - a 2 - 2 h

Simplificando a equação,

= lim h  → 0 ⁡ h ( 2 a + h ) h

y m = lim h  → 0 ⁡ 2 a + h

Agora vamos substituir o valor de h na equação.

y m = lim h  → 0 ⁡ 2 a + h = 2 a + 0

y m = 2 a

Sendo a = x = 3 , temos que

y m = 2 × 3

y m = 6   m / s 2

Resposta

a   y m = 6,5   m / s 2

b   y a = 6   m / s 2