Ache todos os números inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: dão resto 6 quando divididos por 11 e resto 3 quando divididos por 7.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos escrever no formato do algoritmo da divisão um número p tal que satisfaça as condições enunciadas.

p = 11 k + 6   e   p = 7 q + 3 ,   c o m   k , q ∈ Z

Igualando as equações, chegamos em uma diofantina:

11 k + 6 = 7 q + 3

7 q - 11 k = 3

Passo 2

Vamos agora encontrar a solução geral da diofantina.

Partindo do teorema de bezout, sabendo que m d c 7,11 = 1 , temos que:

7 q - 11 k = 1

Uma solução dessa equação é q = - 3   e   k = - 2 ,

7 - 3 - 11 - 2 = 1

Multiplicando a equação por 3:

7 - 9 - 11 - 6 = 3

- 9 + 11 m d c 7 , 11 ⋅ t , - 6 + 7 m d c 7 , 11 ⋅ t = - 9 + 1 1 t , - 6 + 7 t   c o m   t ∈ Z

q , k = ( - 9 + 11 t , - 6 + 7 t )

Passo 3

Vamos substituir na equação e descobrir o que se pede:

p = 11 k + 6

p = 11 - 6 + 7 t + 6

p = - 60 + 77 t   c o m   t ∈ Z

Como ele quer saber os números positivos, então p ≥ 0 :

- 60 + 77 t ≥ 0 ⇒ t ≥ 0,779 … → t ≥ 1   p o i s   t   é   i n t e i r o

Assim, a solução é: todos os números do conjunto { 60 + 77 t | t = 1 ,   2 ,   3 , … } .

Observação: esse exercício possui mais de uma solução para a equação diofantina!

Resposta

Todos os números do conjunto { 60 + 77 t | t = 1 ,   2 ,   3 , … } .