Ache os três primeiros termos da série de Taylor de f ( x ) em c .

Passo 1

Falaaa, como vai?? A série de Taylor é definida pela seguinte fórmula.

f x = f c + f ' c 1 ! x - c + f ' ' c 2 ! + …

Como podemos notar, vamos ter que achar a derivada da função e aplicar o c . Após isso, é só substituirmos na fórmula. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é:

f x = csc ⁡ x

Derivando.

f ' x = - csc ⁡ x cot ⁡ ( x )

f ' ' x = csc 3 ⁡ x + csc ⁡ ( x ) cot 2 ⁡ ( x )

Aplicando a constante nas 3 funções. c = 2 π / 3 .

f 2 π / 3 = 2 3

f ' ( 2 π / 3 ) = 2 3

f ' ' ( 2 π / 3 ) = 1 0 3 3

Colocando na fórmula que definimos no passo 1.

2 3 + 2 3 x - 2 π 3 + 5 3 3 x - 2 π 3 2 + …

Resposta

2 3 + 2 3 x - 2 π 3 + 5 3 3 x - 2 π 3 2 + …