Ache os três primeiros termos da série de Taylor de f ( x ) em c .

Passo 1

Falaaa, como vai?? A série de Taylor é definida pela seguinte fórmula.

f x = f c + f ' c 1 ! x - c + f ' ' c 2 ! + …

Como podemos notar, vamos ter que achar a derivada da função e aplicar o c . Após isso, é só substituirmos na fórmula. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é:

f x = arcsen ⁡ x

Derivando.

f ' x = 1 1 - x 2 1 / 2

f ' ' ( x ) = x 1 - x 2 3 / 2

Aplicando a constante nas 3 funções. c = 1 / 2 .

f 1 / 2 = π 6

f ' ( 1 / 2 ) = 2 3

f ' ' ( 1 / 2 ) = 4 3 3

Colocando na fórmula que definimos no passo 1.

π 6 + 2 3 x - 1 2 + 2 3 3 x - 1 2 2 + …

Resposta

π 6 + 2 3 x - 1 2 + 2 3 3 x - 1 2 2 + …