Ache os vértices e os focos da elipse. Esboce o gráfico, mostrando os focos.

9 x 2 + 16 y 2 + 54 x - 32 y - 47 = 0

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h ± c , k )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na horizontal, se quisermos a versão na qual ele é vertical, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

Para ficar mais fácil identificar os valores necessários pela equação (1), vamos tentar completar quadrados na equação dada tanto para x , quanto para y , obtendo:

9 x 2 + 54 x + ( 9 ) 2 - ( 9 ) 2 + 16 y 2 - 32 y + ( - 4 ) 2 - ( - 4 ) 2 = 47

( 3 x + 9 ) 2 + ( 4 y - 4 ) 2 = 47 + 81 + 16 = 144

9 ( x + 3 ) 2 + 16 ( y - 1 ) 2 = 144 →   ( x + 3 ) 2 16 + ( y - 1 ) 2 9 = 1

Podemos identificar então que o centro está no ponto ( h , k )   =   ( - 3,1 ) . Também é possível notar que a = 4 e b = 3 . Com essas informações temos utilizando a equação (2) que:

c 2 = 16 - 9 = 7 → c = ± 7 ,

assim temos que os focos são dados por:

F   =   ( - 3 ± 7 , 1 )

Agora vamos calcular os vértices!

Passo 3

Os vértices podem ser obtidos fazendo-se y = 1 inicialmente para os vértices horizontais e x = - 3 , para os vértices verticais, portanto temos:

( x + 3 ) 2 16 = 1 → ( x + 3 ) = ± 4 → ± 4 - 3 ,

e também que

( y - 1 ) 2 9 = 1 → y - 1 = ± 3 = ± 3 + 1

Portanto, os vértices são da forma:

V y   =   ( - 3 , ± 3 + 1 )   e   V x = ( ± 4 - 3,1 )

Desta forma podemos finalmente esboçar nossa elipse, ela vai ficar assim:

Esta foi mais uma questão! Te vejo na próxima!!

Resposta

Ao longo do passo 2 e 3.