Ache os vértices e os focos da elipse. Esboce o gráfico, mostrando os focos.

4 x 2 + 9 y 2 + 24 x + 18 y + 9 = 0

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h ± c , k )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na horizontal, se quisermos a versão na qual ele é vertical, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

Para ficar mais fácil identificar os valores necessários pela equação (1), vamos tentar completar quadrados na equação dada tanto para x , quanto para y , obtendo:

4 x 2 + 24 x + ( 6 ) 2 - ( 6 ) 2 + 9 y 2 + 18 y + ( 3 ) 2 - ( 3 ) 2 = - 9

( 2 x + 6 ) 2 + ( 3 y + 3 ) 2 = - 9 + 36 + 9 = 36

4 ( x + 3 ) 2 + 9 ( y + 3 ) 2 = 36 →   ( x + 3 ) 2 9 + ( y + 3 ) 2 4 = 1

Podemos identificar então que o centro está no ponto ( h , k )   =   ( - 3 , - 3 ) . Também é possível notar que a = 3 e b = 2 . Com essas informações temos utilizando a equação (2) que:

c 2 = 9 - 4 = 5 → c = ± 5 ,

assim temos que os focos são dados por:

F   =   ( - 3 ± 5 , - 3 )

Agora vamos calcular os vértices!

Passo 3

Os vértices podem ser obtidos fazendo-se y = - 3 inicialmente para os vértices horizontais e x = - 3 , para os vértices verticais, portanto temos:

( x + 3 ) 2 9 = 1 → ( x + 3 ) = ± 3 → ± 3 - 3 ,

e também que

( y + 3 ) 2 4 = 1 → y + 3 = ± 2 = ± 2 - 3

Portanto, os vértices são da forma:

V y   =   ( - 3 , ± 2 - 3 )   e   V x = ( ± 3 - 3 , - 3 )

Desta forma podemos finalmente esboçar nossa elipse, ela vai ficar assim:

Esta foi mais uma questão! Te vejo na próxima!!

Resposta

Ao longo do passo 2 e 3.