Ache os vértices e os focos da elipse. Esboce o gráfico, mostrando os focos.

4 x 2 + y 2 = 2 y

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

Para ficar mais fácil identificar os valores necessários pela equação (1), vamos tentar completar quadrados para y , obtendo:

4 x 2 + y 2 - 2 y + ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) 2 = 0

4 x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 →   x 2 1 / 4 + ( y - 1 ) 2 1 = 1

Podemos identificar então que o centro está no ponto ( h , k )   =   ( 0,1 ) . Também é possível notar que a = 1 e b = 1 / 2 . Com essas informações temos utilizando a equação (2) que:

c 2 = 1 - 1 / 4 = 3 / 4 → c = ± 3 2 ,

assim temos que os focos são dados por:

F   =   ( 0,1 ± 3 / 2 )

Agora vamos calcular os vértices!

Passo 3

Os vértices podem ser obtidos fazendo-se y = 1 inicialmente para os vértices horizontais e x = 0 , para os vértices verticais, portanto temos:

x 2 1 / 4 = 1 → x = ± 1 / 2 ,

e também que

( y - 1 ) 2 1 = 1 → y - 1 = ± 1 = ± 1 + 1

Portanto, os vértices são da forma:

V y   =   ( 0 , ± 1 + 1 )   e   V x = ( ± 1 / 2,1 )

Desta forma podemos finalmente esboçar nossa elipse, ela vai ficar assim:

Esta foi mais uma questão! Te vejo na próxima!!

Resposta

Ao longo do passo 2 e 3.