Ache os vértices e os focos da elipse. Esboce o gráfico, mostrando os focos.

25 x 2 + 4 y 2 - 250 x - 16 y + 541 = 0

Passo 1

Oiiie!! Tudo bem? No clima para mais um dia de estudos?

Para esta questão vamos relembrar a expressão geral para a equação de uma elipse, sendo esta:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 ,           ( 1 )

em que h e k são as coordenadas do centro da elipse. Nós podemos obter os vértices horizontais com y = k , e os vértices verticais com x = h . Finalmente, os focos podem ser obtidos utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 - b 2 ,           ( 2 )

em que os focos são tais que

F   =   ( h , k ± c )

Essa expressão está considerando o eixo maior, de comprimento a , na vertical, se quisermos a versão na qual ele é horizontal, estas expressões devem mudar um pouquinho. Mas, temos tudo que precisamos para resolver este exercício, vamos lá então!!

Passo 2

Para ficar mais fácil identificar os valores necessários pela equação (1), vamos tentar completar quadrados na equação dada tanto para x , quanto para y , obtendo:

25 x 2 - 250 x + ( - 25 ) 2 - ( - 25 ) 2 + 4 y 2 - 16 y + ( - 4 ) 2 - ( - 4 ) 2 = - 541

( 5 x - 25 ) 2 + ( 2 y - 4 ) 2 = - 541 + 625 + 16 = 100

25 ( x - 5 ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 = 100 →   ( x - 5 ) 2 4 + ( y - 2 ) 2 25 = 1

Podemos identificar então que o centro está no ponto ( h , k )   =   ( 5,2 ) . Também é possível notar que a = 5 e b = 2 . Com essas informações temos utilizando a equação (2) que:

c 2 = 25 - 4 = 21 → c = ± 21 ,

assim temos que os focos são dados por:

F   =   ( 5,2 ± 21 )

Agora vamos calcular os vértices!

Passo 3

Os vértices podem ser obtidos fazendo-se y = 2 inicialmente para os vértices horizontais e x = 5 , para os vértices verticais, portanto temos:

( x - 5 ) 2 4 = 1 → ( x - 5 ) = ± 2 → ± 2 + 5 ,

e também que

( y - 2 ) 2 25 = 1 → y - 2 = ± 5 = ± 5 + 2

Portanto, os vértices são da forma:

V y   =   ( 5 , ± 5 + 2 )   e   V x = ( ± 2 + 5,2 )

Desta forma podemos finalmente esboçar nossa elipse, ela vai ficar assim:

Esta foi mais uma questão! Te vejo na próxima!!

Resposta

Ao longo do passo 2 e 3.